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\subsection{平方根}\label{subsec:9-1}

\begin{enhancedline}
如果已经知道一个正方形的边长，我们可以通过平方运算求出正方形的面积。
反过来，如果已知正方形的面积，这个正方形的边长应该怎样计算？

例如，我们需要一个面积是 $9$ 平方米的正方形钢板，就要先求出这个正方形钢板的边长是多少米，
也就是要求出一个平方后等于 $9$ 的数。因为 $3^2 = 9$，$(-3)^2 = 9$，
而实际上正方形钢板的边长不能是负数，所以，这个正方形钢板的边长是 $3$ 米。

一般地，如果一个数的平方等于 $a$，这个数就叫做 $a$ 的\zhongdian{平方根}（也叫做\zhongdian{二次方根}）。
换句话说，如果 $x^2 = a$，那么，$x$ 就叫做 $a$ 的平方根。
例如，因为 $3^2 = 9$，$(-3)^2 = 9$，所以 $3$ 与 $-3$ 都是 9 的平方根。
又如，因为 $7^2 = 49$，$(-7)^2 = 49$， 所以 $7$ 与 $-7$ 都是 49 的平方根。
类似地，因为 $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}$，$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}$，
所以 $\dfrac{2}{5}$ 与 $-\dfrac{2}{5}$ 都是 $\dfrac{4}{25}$ 的平方根。

根据平方运算可以知道，不为零的两个数互为相反数时，它们的平方是同一个正数。
一般地，\zhongdian{一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数}。

因为 $0^2 = 0$， 所以\zhongdian{零的平方根是零}。

任何正数、负数的平方都是正数，零的平方是零，也就是正数、负数和零的平方都不是负数，
因此\zhongdian{负数没有平方根}。例如，$-4$ 没有平方根。

求一个数 $a$ 的平方根的运算，叫做\zhongdian{开平方}。

开平方与平方互为逆运算，因此，我们可以运用平方运算求一个数的平方根，
也可以用平方运算检验一个数是不是另一个数的平方根，例如，

$\because \quad 3^2 = 9 \nsep (-3)^2 = 9$，

$\therefore$ \quad 9 的两个平方根是 $3$ 和 $-3$。

一个正数 $a$ 的正的平方根，用符号 “$\sqrt[2]{a}$” 表示；负的平方根， 用符号 “$-\sqrt[2]{a}$” 表示。
这两个平方根合起来可以记做 “$\pm\sqrt[2]{a}$”， 这里符号 “$\sqrt[2]{\phantom{a}}$” 读作 “二次根号”，
$a$ 叫做\zhongdian{被开方数}， $2$ 叫做\zhongdian{根指数}。
根指数是 $2$ 时，通常省略不写，如 $\pm\sqrt[2]{a}$ 写做 $\pm \sqrt{a}$，读作 “正、负根号 $a$ ”。
$\pm\sqrt{0}$就是 0 。

\zhuyi 因为负数没有平方根，所以 $\sqrt{a}$ 中的被开方数要大于或等于零，即 $a \geqslant 0$。

\liti 求下列各数的平方根：
\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \fourInLineXxt[6em]{$36$；}{$\dfrac{16}{25}$；}{$2\dfrac{1}{4}$；}{$0.49$。}

\resetxxt
\jie \xxt{\begin{tblr}[t]{}
        $\because$   & $(\pm 6)^2 = 36$， \\
        $\therefore$ & 36 的平方根是 $\pm 6$，即 \\
                     & $\pm \sqrt{36} = \pm 6$；
\end{tblr}}

\hspace*{1.5em} \xxt{\begin{tblr}[t]{}
    $\because$   & $\left(\pm \dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}$， \\
\end{tblr}}

\hspace*{4.5em} \begin{tblr}[t]{} % 为了让本小节“练习”第4题的图片不会被显示到下一页去，这里手工将表格拆分，让第一行显示到上一页。
    $\therefore$ & $\dfrac{16}{25}$ 的平方根是 $\pm \dfrac{4}{5}$，即 \\
                 & $\pm \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \pm \dfrac{4}{5}$；
\end{tblr}

\hspace*{1.5em} \xxt{\begin{tblr}[t]{}
    $\because$   & $2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4} \nsep \left(\pm \dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$， \\
    $\therefore$ & $2\dfrac{1}{4}$ 的平方根是 $\pm \dfrac{3}{2}$，即 \\
                 & $\pm \sqrt{2\dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \pm \dfrac{3}{2}$；
\end{tblr}}

\hspace*{1.5em} \xxt{\begin{tblr}[t]{}
    $\because$   & $(\pm 0.7)^2 = 0.49$， \\
    $\therefore$ & $0.49$ 的平方根是 $\pm 0.7$，即 \\
                 & $\pm \sqrt{0.49} = \pm 0.7$。
\end{tblr}}

\end{xiaoxiaotis}

\liti 判断下列各数有没有平方根：
\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \fourInLineXxt[6em]{64；}{$-64$；}{0；}{($-4)^2$。}

\resetxxt
\jie \xxt{因为 $64 > 0$，所以 64 有平方根；}

\hspace*{1.5em} \xxt{因为 $-64 < 0$，所以 $-64$ 没有平方根；}

\hspace*{1.5em} \xxt{0 有平方根；}

\hspace*{1.5em} \xxt{因为 $(-4)^2 = 16 > 0$，所以 $(-4)^2$ 有平方根。}

\end{xiaoxiaotis}

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{什么数的平方等于 $81$？}

    \xxt{什么数的平方等于 $\dfrac{4}{9}$？}

    \xxt{什么数的平方等于 $0.25$？}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列各数的平方根：\\
    \hspace*{2em}$1 \nsep 64  \nsep 1600 \nsep 0 \nsep 0.0081 \nsep \dfrac{49}{100} \nsep 2.25 \nsep \dfrac{25}{144}$。
}

\xiaoti{求下列各数的平方根：\\
    \hspace*{2em}$729 \nsep 324 \nsep 0.81 \nsep 0.0225 \nsep \dfrac{16}{49} \nsep \dfrac{25}{64}$。
}

\xiaoti{如图，求左圈和右圈中的 “?”：}


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds3-ch9-subsec1-lianxi-4}
    \caption*{（第 4 题）}
\end{figure}


\end{xiaotis}
\end{enhancedline}